为什么更改总和顺序会返回不同的结果?

2020/10/04 23:41 · javascript ·  · 0评论

为什么更改总和顺序会返回不同的结果?

23.53 + 5.88 + 17.64 = 47.05

23.53 + 17.64 + 5.88 = 47.050000000000004

双方的JavaJavaScript的返回相同的结果。

我知道,由于以二进制表示浮点数的方式,某些有理数(例如1/3-0.333333 ...)无法精确表示。

为什么简单地更改元素的顺序会影响结果?

也许这个问题很愚蠢,但是为什么仅仅改变元素的顺序会影响结果呢?

它将根据值的大小更改四舍五入的点。作为示例样的事情,我们所看到的,我们假装的,而不是二进制浮点,我们用的是十进制浮点类型有4显著位,在此,“无限”精确执行每次添加,然后四舍五入到最接近的可表示数字。这是两个总和:

1/3 + 2/3 + 2/3 = (0.3333 + 0.6667) + 0.6667
                = 1.000 + 0.6667 (no rounding needed!)
                = 1.667 (where 1.6667 is rounded to 1.667)

2/3 + 2/3 + 1/3 = (0.6667 + 0.6667) + 0.3333
                = 1.333 + 0.3333 (where 1.3334 is rounded to 1.333)
                = 1.666 (where 1.6663 is rounded to 1.666)

我们甚至不需要非整数就可以解决这个问题:

10000 + 1 - 10000 = (10000 + 1) - 10000
                  = 10000 - 10000 (where 10001 is rounded to 10000)
                  = 0

10000 - 10000 + 1 = (10000 - 10000) + 1
                  = 0 + 1
                  = 1

这可能更清楚地表明,重要的部分是我们只有有限数量的有效数字,而不是有限的小数位数如果我们总是可以保持相同的小数位数,那么至少要加上和减去,我们会很好的(只要这些值不会溢出)。问题在于,当您获得更大的数字时,会丢失较小的信息-在这种情况下,将10001舍入为10000。(这是埃里克·利珀特(Eric Lippert)在回答中指出的问题的一个示例。)

重要的是要注意,在所有情况下,右侧第一行的值都是相同的-因此,尽管重要的是要理解十进制数字(23.53、5.88、17.64)不会精确地表示为double值,由于上面显示的问题,这只是一个问题。

这是二进制中发生的事情。众所周知,即使某些浮点值可以精确地用十进制表示,也不能精确地用二进制表示。这三个数字只是该事实的示例。

使用此程序,我输出每个数字的十六进制表示形式以及每个加法的结果。

public class Main{
   public static void main(String args[]) {
      double x = 23.53;   // Inexact representation
      double y = 5.88;    // Inexact representation
      double z = 17.64;   // Inexact representation
      double s = 47.05;   // What math tells us the sum should be; still inexact

      printValueAndInHex(x);
      printValueAndInHex(y);
      printValueAndInHex(z);
      printValueAndInHex(s);

      System.out.println("--------");

      double t1 = x + y;
      printValueAndInHex(t1);
      t1 = t1 + z;
      printValueAndInHex(t1);

      System.out.println("--------");

      double t2 = x + z;
      printValueAndInHex(t2);
      t2 = t2 + y;
      printValueAndInHex(t2);
   }

   private static void printValueAndInHex(double d)
   {
      System.out.println(Long.toHexString(Double.doubleToLongBits(d)) + ": " + d);
   }
}

printValueAndInHex方法只是一个十六进制打印机助手。

输出如下:

403787ae147ae148: 23.53
4017851eb851eb85: 5.88
4031a3d70a3d70a4: 17.64
4047866666666666: 47.05
--------
403d68f5c28f5c29: 29.41
4047866666666666: 47.05
--------
404495c28f5c28f6: 41.17
4047866666666667: 47.050000000000004

第4个数字是xyz,和s的十六进制表示。在IEEE浮点表示中,位2-12表示二进制指数,即数字的小数位数。(第一位是符号位,其余位为尾数。)所表示的指数实际上是二进制数减去1023。

提取前四个数字的指数:

    sign|exponent
403 => 0|100 0000 0011| => 1027 - 1023 = 4
401 => 0|100 0000 0001| => 1025 - 1023 = 2
403 => 0|100 0000 0011| => 1027 - 1023 = 4
404 => 0|100 0000 0100| => 1028 - 1023 = 5

第一组添加

第二个数字(y)幅度较小。当将这两个数字x + y相加时,第二个数字(01的后2位超出范围,因此不计入计算。

第二个加法器将x + y和进行相加z然后将两个相同比例的数字相加。

第二套加法

在这里,x + z首先发生。它们具有相同的规模,但是它们产生的数字规模更大:

404 => 0|100 0000 0100| => 1028 - 1023 = 5

第二次加法加上x + zy,现在从删除3y以加数字(101)。在这里,必须向上进行一轮运算,因为结果是下一个浮点数向上:4047866666666666对于第一组添加项与4047866666666667第二组添加项。该错误足以显示在总计的打印输出中。

总之,对IEEE数字执行数学运算时要小心。有些表示形式不精确,当比例不同时,它们甚至变得更加不精确。如果可以的话,可以加减类似比例的数字。

乔恩的答案当然是正确的。在您的情况下,该错误不大于在执行任何简单的浮点运算时将累积的错误。您有一种情况,在一种情况下,您将得到零错误,而在另一种情况下,您将得到很小的错误。这实际上不是那么有趣的场景。一个好问题是:是否存在将计算顺序从微小错误变为(相对)巨大错误的情况?答案是肯定的。

考虑例如:

x1 = (a - b) + (c - d) + (e - f) + (g - h);

x2 = (a + c + e + g) - (b + d + f + h);

x3 = a - b + c - d + e - f + g - h;

显然,按照精确的算术,它们将是相同的。有趣的是尝试找到a,b,c,d,e,f,g,h的值,以使x1和x2与x3的值相差很大。看看是否可以这样做!

实际上,这不仅涵盖Java和Javascript,而且可能会影响使用float或double的任何编程语言。

在内存中,浮点沿IEEE 754使用特殊格式(转换器提供了比我更好的解释)。

无论如何,这是float转换器。

http://www.h-schmidt.net/FloatConverter/

关于操作顺序的事情是操作的“精细度”。

您的第一行从前两个值得出29.41,这使我们得到2 ^ 4作为指数。

您的第二行得出41.17,这使我们得到2 ^ 5作为指数。

通过增加指数,我们正在失去一个重要的数字,这很可能会改变结果。

尝试在最右边的最后一个点上打勾,以41.17滴答作响,您会发现,指数的1/2 ^ 23之类的“无关紧要”足以引起此浮点差。

编辑:对于那些记得重要数字的人,这将属于该类别。10 ^ 4 + 4999(有效数字为1)将是10 ^ 4。在这种情况下,有效数字要小得多,但可以看到附加了.00000000004的结果。

浮点数使用IEEE 754格式表示,该格式提供了尾数(有效位数)的特定位大小。不幸的是,这为您提供了一定数量的“分数构建块”,并且某些分数值无法精确表示。

在您的情况下发生的是,在第二种情况下,由于对添加项进行评估的顺序,添加项可能会遇到一些精度问题。我还没有计算出值,但是举例来说,可能无法精确表示23.53 + 17.64,而可以精确表示23.53 + 5.88。

不幸的是,这是一个已知问题,您只需解决。

我认为这与撤离顺序有关。虽然总和在数学世界中自然是相同的,但在二进制世界中而不是A + B + C = D,它是

A + B = E
E + C = D(1)

因此,存在第二步,浮点数可以下浮。

当您更改订单时,

A + C = F
F + B = D(2)
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